電荷保存則を式で表す

Physics

空間的領域$V$を考え、その領域を閉曲面を$S$を通って単位時間に流失する電荷の総量は
\int_{S}i(x,t)\cdot n(x)dS
と表せる。また電荷の総量が不変である事から領域$V$内に存在した電荷量の単位時間当たりの減少量は
-\frac{d}{dt}\int_{V}\rho(x,t)d^3 x
と表せて上の２式は電荷保存から
\int_{S}i(x,t)\cdot n(x)dS=-\frac{d}{dt}\int_{V}\rho(x,t)d^3 x
でなければならない。これを微分形で表そうとすると、左辺はガウスの定理を用いて
\int_{S}i(x,t)\cdot n(x)dS =\int_{V}div i(x,t) d^3x
となり、右辺は$V$を固定して考えると、
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho(x,t)d^3 x=\int_{V}\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}d^3x
よって式を整理すると任意の場所で
div i(x,t)+\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}=0
（一部省略）
ふと思ったのだが電荷保存って当たり前のように使っているんだけど、何処からこれは出てくるんだっけ？要請なんだっけなぁ。むむ、修行が足りん。